振動中心（Centre of Oscillation）

振動中心とは#

振動中心は、棒やおもりに重さが広がった振り子について、同じ周期で振れる単振り子の長さを示す点である。英語では centre of oscillation または center of oscillation、フランス語では centre d’oscillation、ホイヘンスのラテン語では centrum oscillationis という。たとえば一様な細い棒を一端から吊るすと、重心は長さの半分にあるが、振動中心は支点から長さの3分の2の位置にある。1 2

物体の重さの釣り合いを表す重心と、往復運動に要する時間を表す振動中心は、役割が異なる。時計の振り子の長さを「支点からおもりの中心まで」と測るだけでは、棒の重さや、おもりの大きさによる違いを取り込めない。振動中心は、そうした質量の広がりを一つの等価な長さへまとめるための概念である。1 2

ここで扱うのは重力で振れる物理振り子の用語である。テンプが往復するときの角度の中央や、時計部品の幾何学的な中心を指す言い方とは区別する。振動中心の位置は物体だけで決まらず、どの軸から、どの方向に振らせるかにも依存する。1

一点のおもりと、広がりのある振り子#

理想的な単振り子は、重さのない、長さの変わらない糸の先に、質量が一点へ集中したおもりを付けたものである。実際の振り子では棒も重さを持ち、円板や球のおもりも回転する。そのような物体を、内部の距離が変わらない剛体として扱うのが、複振り子、あるいは物理振り子である。ホイヘンスは『振り子時計』第4部の定義III・IVで、この二つを分けている。1

振動中心は、支軸に垂直で重心を通る線の上に定める。安定して静止しているときには、支点から重心を通って下へ進んだ側にある。ただし物体の外側に来る場合もあり、そこに実際のねじや目印が存在する必要はない。第4部の定義IXも、同じ周期の単振り子の長さだけ支軸から離れた点として定義している。1

一様棒の支点O、長さの半分の重心G、3分の2の振動中心Cと、同じ等価長を持つ単振り子を並べた図

図1：一様な細棒を一端から吊るした例。左の棒は長さL、右の単振り子は長さ2L/3で、小振幅の周期が等しい。棒の下端と、重心Gと、振動中心Cは別の位置にある。筆者作図、2026年。式の根拠は文献2。図の利用条件：CC0 1.0。変更なし。

等価な長さを求める#

以下では、支軸は固定された水平軸、振り子は変形しない剛体、重力は一様とする。空気抵抗、軸受の摩擦、吊りばねの弾性、脱進機からの力は含めない。支点Oから重心Gまでの距離を $$ d>0 $$ 、全質量を $$ M $$ 、支軸まわりの慣性モーメントを $$ I_O $$ とする。慣性モーメントは、回転の速さを変えにくい度合いを表し、質量が支軸から遠くにあるほど大きくなる。2 3

静止する鉛直下向きからの角度（ラジアン）を $\theta$ 、時間を $$ t $$ 、重力加速度を $$ g $$ とすれば、重力の回転作用によって、

I_O\frac{d^2\theta}{dt^2}=-Mgd\sin\theta

となる。小さな振れ幅で $\sin\theta\simeq\theta$ と近似すると、一往復の周期は、

T_0=2\pi\sqrt{\frac{I_O}{Mgd}}

である。単振り子の小振幅周期 $T_0=2\pi\sqrt{\ell/g}$ と比べると、同じ周期に相当する長さは、

\ell=\frac{I_O}{Md}

となる。この $\ell$ が等価長であり、支点Oから振動中心Cまでの距離である。質量をkg、距離をm、慣性モーメントをkg m²、重力加速度をm/s²で表せば、等価長はm、周期はsになる。 $$ T_0 $$ は一往復なので、片道に1秒かかる「秒振り子」の周期は約2秒である。2 3

重心より下にある理由#

重心を通って支軸に平行な軸の慣性モーメントを $$ I_G=Mk^2 $$ と書く。 $$ k $$ は回転半径と呼ばれる長さで、質量の広がりを表す。平行軸の定理を使うと、

I_O=M(k^2+d^2),\qquad \ell=d+\frac{k^2}{d}

となる。したがって、重心から振動中心までの距離は $$ k^2/d $$ である。剛体の質量が回転軸に対して広がりを持つ分だけ、振動中心は重心より下に来る。ホイヘンスの幾何学的な議論を、ここでは現代の慣性モーメントの記号で表している。1 3

支点を重心へ近づければ、必ず速く振れるわけでもない。 $$ d $$ を小さくすると、重力が引き戻す回転作用も小さくなり、 $$ k^2/d $$ が大きくなる。支点が重心を通る $$ d=0 $$ では、このモデルには重力による復元作用がなく、上の周期式の対象から外れる。2

棒と球で比べる#

長さ $$ L $$ の一様な細棒を一端から吊るす場合、 $$ I_O=ML^2/3 $$ 、 $$ d=L/2 $$ なので $\ell=2L/3$ となる。長さ1mなら等価長は約0.667mであり、重心までの0.5mでも、下端までの1mでもない。これは棒についての結果であり、すべての形状に使える比率ではない。1 2

別の例として、質量を無視できる棒の先に、半径 $$ R $$ の一様な球を剛結する。球の中心までの距離を $$ d $$ とし、球自身も棒と一体で回転するなら、球の重心まわりの慣性モーメントは $$ 2MR^2/5 $$ なので、

\ell=d+\frac{2R^2}{5d}

となる。これは平行軸の式を球へ適用した例である。 $d=1.000\,\mathrm{m}$ 、 $R=0.050\,\mathrm{m}$ なら等価長は1.001mで、球の中心より1mm下となる。同じ球を柔らかい糸へ吊り、球の回転が棒と同じ角度で拘束されない場合まで、この式を無条件に適用することはできない。1 3

支点と振動中心を入れ替える#

振動中心の重要な性質は可逆性である。物体を上下反転し、元の振動中心を通る、元の支軸と平行な軸から吊るすと、元の支点が新しい振動中心になる。同じ小さな振れ幅なら周期も等しい。ホイヘンスの第4部命題XXが述べる、懸垂点と振動中心の相互関係である。1

上の式では、新しい支点から重心までの距離は $$ d'=k^2/d $$ となる。そこで新しい等価長を求めると、

\ell'=d'+\frac{k^2}{d'}=\frac{k^2}{d}+d=\ell

となる。一様棒なら、元の一端から2L/3の位置を支点にして反転しても、元の一端から吊るしたときと周期が等しい。この性質は、質量の分布を完全に測定しなくても、周期の比較から等価長を求める道を開いた。2 4

ケーターの可逆振り子#

ヘンリー・ケーターは、重心の両側に二つの支点となるナイフエッジを設け、可動錘を動かして両方の周期を合わせる振り子を実現した。1818年論文の冒頭では、一様な密度と形状の棒を作る難しさを述べた後、懸垂点と振動中心の可逆性を使う方法へ進んでいる。実験は1817年の仕事で、論文は1818年1月29日に王立協会で朗読され、同年刊行された。4 5

ここには条件がある。二つの支点が重心の反対側にあり、重心までの距離を $$ d_1,d_2 $$ とすると、小振幅で等周期という条件は、

(d_1-d_2)\left(1-\frac{k^2}{d_1d_2}\right)=0

となる。 $d_1\ne d_2$ なら $$ d_1d_2=k^2 $$ が得られ、支点間距離 $$ D=d_1+d_2 $$ が等価長になる。ところが、重心から等距離の対称な支点では、等周期になっただけで、この結論は導けない。大学の実験教材も、二つの重心距離が十分に異なる必要を明記している。3

条件を満たすと、周期と支点間距離から $g=4\pi^2D/T_0^2$ を求められる。重心の正確な位置や各部分の密度をすべて計算して振動中心を探す代わりに、二つの周期を合わせて、測りやすい二支点間の距離を使う点が実用上の利点である。実際の精密測定では、二周期の残差や、刃先・温度・空気の影響を別に補正する。3 4

可逆振り子にはケーター以前の提案もある。スミソニアンの研究は、ド・プロニーの未刊提案とボーネンベルガーの1811年の出版に触れ、ケーターによる製作・実験と区別する。振動中心の定理の成立、装置の提案、実用的な測定の達成を、一つの「最初」にまとめることはできない。6

時計の調整と測定で何が変わるか#

ホイヘンスが振動中心へ取り組んだ動機の一つは、主のおもりとは別の可動錘を付けて時計を調整することだった。補助錘の移動は重心までの距離と慣性モーメントの両方を変えるため、単に全体の重心がどれだけ上下したかだけでは周期を判断できない。『振り子時計』第4部の冒頭は、時計調整と、一定の長さを定義する課題を並べている。1

振動中心を求めることは、時計全体の等時性を保証することではない。一定の等価長を持つ理想的な円弧の振り子でも、振れ幅が大きいほど周期は長くなる。二つの振り子を比較するときにも振れ幅の条件をそろえる必要がある。3

また、実物の振り子では、温度による棒の伸びや質量配置の変化、吊り部の弾性、支持台の運動、空気の浮力や抵抗、脱進機が加える力が関わる。硬いナイフエッジを使う測定振り子と、薄い吊りばねで支持する時計の振り子では、支点のモデルも同じではない。ケーター自身の原著にも温度と浮力の補正があり、後の重力測定は支持部や空気の影響をさらに検討した。4 6

水銀振り子や格子振り子による温度補償を考えるときも、部品の膨張を組み合わせ、振動の周期を決める等価長の変化を小さくするという見方が役立つ。サイクロイド振子による振幅と周期の関係の改善は、これとは別の問題である。

打撃中心との関係#

同じ剛体・支点・平面運動の条件で、支点と重心を結ぶ線に垂直な短い衝撃を与えるとき、支点へその方向の衝撃反力を生じさせない位置も $$ I_O/(Md) $$ で表される。これが打撃中心である。理想条件では位置が振動中心と一致するが、片方は重力による周期、もう片方は衝撃に対する反応を扱う。重力や軸受の荷重まで常に消えるという意味ではない。2

成立から現在まで#

時期	確認できる展開と意味
17世紀中頃	メルセンヌが、形のある振り子と同周期の単振り子を求める問題を提示。ホイヘンス本人が第4部冒頭で先行する問題として説明する。1
1664年11–12月	ホイヘンスによる球振り子の振動中心と長さ標準の提案を王立協会で紹介・実験。所蔵記録は書簡図、会合、検証を分けて記録する。7
1673年	『Horologium Oscillatorium』第4部で振動中心を体系的に論じ、定義IXと命題XXに定義・可逆性を示す。研究の開始年そのものを意味しない。1
18世紀末–1811年	可逆振り子による測定の先行提案。未刊の構想と出版された記述を区別する必要がある。6
1817–1818年	ケーターが装置を製作・実験し、1818年に方法と測定を発表。4 5
19世紀	重力測定の発展のなかで、可逆振り子の支持部、浮力、振幅などの補正を研究。6
1983年、2018年	メートルは光速を基準とする定義へ移り、後に定義文を改めた。現在の長さの標準は秒振り子の長さではない。8
現在	大学の物理実演・実験教材で、質量分布、等価長、重力測定を結ぶ概念として扱われる。2 3

振動中心は特定メーカーの製品機構の名称ではなく、振り子の動きを比較するための力学の概念である。その価値は、おもりの中心だけを測る見方から、物体全体の質量分布と、時間の測定を結び付ける見方へ進める点にある。材料、支点、振れ幅が変わる実時計へ使う際には、等価長の計算と、そこから除外した要因を分けて考える必要がある。

参考文献#

1. Christiaan Huygens, Horologium Oscillatorium (1673), Pars quarta, 定義III・IV・IX、命題XVII–XXII（球はpp.330–333）。Œuvres complètes, XVIII (1934), pp.242–359所収、ラテン語原文・フランス語訳（DBNL）。

2. University of California, Santa Barbara, Lecture Demonstration 28.38, “Center of percussion”。物理振り子の運動方程式、等価長、一様棒、可逆性を参照。

3. Medford Webster, Bob Patchin, Michael Turner, John Wikswo, Jim Waters, Kater’s Pendulum, 1988年、2003年9月12日改訂、Pisa大学配信PDF、pp.1–4、式1–15。力学の導出を参照。

4. Henry Kater, An Account of Experiments for Determining the Length of the Pendulum Vibrating Seconds in the Latitude of London, 1818、別刷pp.1–3、30–32、ETH-Bibliothek所蔵原本・永続リンク、Rar 15265。PDF実頁10–12、39–41。

5. Royal Society Archives, PT/12/4, Katerの原稿所蔵記録。原稿1817年7月、朗読1818年1月29日、1818年刊行の区別を参照。

6. Victor F. Lenzen and Robert P. Multhauf, “Development of Gravity Pendulums in the 19th Century,” United States National Museum Bulletin 240, Paper 44, Smithsonian Institution, 1966、特にpp.304–305、314–320、全文転写（Project Gutenberg）。

7. Royal Society Picture Library, “Determining the centre of oscillation”、LBO/1/78、p.227。1664年11月の図と会合、12月の実験の記録。画像自体は転載していない。

8. Bureau International des Poids et Mesures, “Historical perspective: Unit of length, metre”。1983年と2018年の定義の推移を参照。

以上のオンライン資料は2026年11月7日閲覧。