ディーデリク・ヨハネス・コルテヴェーグ：二つの時計を結ぶ運動を数学で読む

ディーデリク・ヨハネス・コルテヴェーグ（Diederik Johannes Korteweg、1848–1941）は、オランダの数学者である。孤立波を記述するコルテヴェーグ＝ド・フリース方程式で知られるが、時計史では、ホイヘンスが観察した二つの振り子時計の「共感運動」を理論的に検討した仕事が重要になる。時計を製作した職人としてではなく、支持台を介して振り子が影響し合う仕組みを分析し、歴史資料と力学を結び付けた研究者として位置付けられる。12

図1：コルテヴェーグの肖像、1900年頃。作者：Jan Veth（1864–1925）。出典：Wikimedia Commons、KNAW資料由来。Public Domain（権利表示、作者没後100年経過した原画の忠実な平面複製）。変更なし。

数学へ向かった経歴#

技術教育と教職を経て大学へ#

コルテヴェーグは1848年3月31日、スヘルトーヘンボスに生まれた。父は裁判官だった。デルフトの工科学校で学び始めたが、関心は工学教育の課程から数学へ移った。数学・力学の教員資格を取り、ティルブルフとブレダで中等教育に従事した後、大学進学に必要な資格を1876年に得た。ユトレヒトで学んでからアムステルダムへ進み、ヨハネス・ディーデリク・ファン・デル・ワールスの指導を受けた。12

1878年7月12日に審査された博士論文は、弾性管を伝わる波の速度を主題とした。アムステルダム大学が博士号を授与する権限を得た直後であり、彼は同大学最初の博士になった。1881年には数学・力学・天文学の教授に就任した。大学の回顧資料が示すように、数学を自然科学の問題へ適用する姿勢は就任講演にも現れていた。2

共同研究と教育#

研究は流体力学、熱力学、古典力学から純粋数学へ広がった。ファン・デル・ワールスとは物理学の問題で協力し、学生グスタフ・ド・フリースの1894年の学位論文を指導した。その長波研究は1895年の共著論文へ発展した。今日いうKdV方程式の背景には、水路を進む波が形を保てるかという問題がある。ただし、この流体の波と時計の共感運動は別の物理モデルであり、同じ研究者の業績だからといって、二つの時計の同期をKdV方程式で説明したことにはならない。2

門下には、1907年に数学基礎論で博士号を得たブラウワーもいた。応用数学を主とする教授が異なる方向の研究も支えたことは、教育上の幅を示す。1897–1941年には『Nieuw Archief voor Wiskunde』の編集にも携わった。時計に関する研究だけを切り取ると見失われる、数学界の教育・出版を支えた側面である。2

ホイヘンスの史料から時計の力学へ#

共感運動とは何か#

ホイヘンスは1665年、近くに置いた二つの振り子時計が、片方が左端へ達する時に他方が右端へ達するように歩調を合わせることを観察した。これは逆位相の同期である。時計を離すと歩度に差が現れたため、単に二台の調整が偶然一致していたわけではなかった。共通の支持構造に生じるわずかな運動が、二つの振り子を機械的に結び付けていた。3

コルテヴェーグの1905年論文は、冒頭でホイヘンスの書簡や『Journal des Sçavans』の記事を引用し、空気の運動という当初の説明から支持部の微小運動へ考えが変わった経緯をたどる。さらに1739年のジョン・エリコットの実験にも注目した。エリコットの場合には、一方の時計が他方の運動を奪って停止させる現象や、振幅が交互に大きくなる現象が含まれていた。コルテヴェーグは、これらをすべて同じ「二台が同じ時を刻む」現象にまとめず、区別して検討した。3

彼はホイヘンス全集の編集にも貢献し、1911–1927年には事業の中心を担った。1905年の論文はこの期間より前である。全集編集と時計研究の関係は深いが、後年の編集責任期間と論文発表年を混同しないことが必要になる。2

1905年と1906年の文献を区別する#

英語論文は王立アカデミーの『Proceedings』第8巻436–455頁に掲載され、本文冒頭には1905年10月28日の会合で報告されたとある。1906年のフランス語論文『Les horloges sympathiques de Huygens』も後世の研究で引用される。2002年のBennettらは後者を参照し、2016年の研究も1906年文献を挙げている。したがって「1905年説と1906年説」という単純な年代の対立ではなく、参照している掲載版を確かめる必要がある。本記事で原文の内容を説明する際の基準は1905年の英語版である。345

二つの振り子に、支持台の自由度を加える#

三つの基本振動#

論文の設定は、運動の自由度を一つ持つ支持機構に、二つの実体振り子を取り付けるというものである。振り子二つの角度と支持機構の運動を合わせ、全体として三つの自由度を扱う。平行な鉛直面内の微小振動に限定し、ラグランジュの方法で運動方程式を導いた。実体振り子なので、長さだけでなく質量分布と支点まわりの慣性も関係する。3

ここでいう基本振動は、系の各部分が一定の振幅比と共通の周期で動く振動の型であり、後にいう固有モードに相当する。任意の小さな運動をそれらの重ね合わせとして見ると、二つの振り子だけでは理解できなかった支持台の役割が現れる。支持台は単なる置き場所ではなく、運動とエネルギーを媒介する系の一部になる。3

支持台を完全な不動点とすれば、この機械的な結合は失われる。一方で、現実の台をすべて一つの剛体運動へ置き換えられるとは限らない。コルテヴェーグ自身も、弾性支持構造で一つの振動様式が支配的なら同様の扱いができると述べた。これは、多数の変形様式を持つ木材の梁を無条件に一自由度と同一視することではない。3

同期、うなり、停止は異なる#

二つの振り子の固有周期が近いと、複数の振動の重ね合わせによって、一方の振幅が増える間に他方が減るような運動が生じ得る。この振幅の変調は、同じ位相関係を保って振動する同期と区別される。また、振幅が小さくなりすぎると、時計の脱進機が正常に働かなくなる可能性がある。振り子が外部から少し揺すられ続けていても、その時計の輪列が自力で進み続けるとは限らない。3

論文後半では、二つの振り子の周期差と支持部との結合の大小を変えて、どのような基本振動や複合振動が残り得るかを議論する。条件によっては二つの時計が異なる歩度を保つ場合も考え、エリコットが記したエネルギーの交互移動と、完全に同じ歩度との両立には疑問を呈した。これは観察記録をそのまま数式へ当てはめるのではなく、記録に含まれる主張相互の整合性を検討した例でもある。3

理論の強みと限界#

摩擦と脱進機をどう扱ったか#

線形の小振動解析だけでは、初期状態の違う時計が時間とともに特定の同期状態へ落ち着く過程を十分には説明できない。コルテヴェーグは原論文438頁の注で、複数の基本振動から最終的に一つが残ることには摩擦が不可欠であり、摩擦の役割を持たない説明は不十分だと明記した。後半では時計の駆動装置と支持台の摩擦がどの運動を維持・減衰させるかも考察している。3

一方で、脱進機の周期的な衝撃や損失を含む完全な非線形の時計モデルを構築したわけではない。2002年のBennettらは、彼の解析を三自由度の線形モデルとして評価し、その枠組みだけでは安定な逆位相同期へ引き込まれる仕組みを説明しきれないと論じた。2016年の研究も、振り子の減衰と駆動を省いた線形モデルとして位置付けている。原論文が摩擦を全く意識しなかったという意味ではなく、方程式としての線形解析と、後段の物理的推論を分けて読む必要がある。345

現代の実験が加えたもの#

Bennettらは、共通支持台を動けるようにした二つの時計で、結合の強さを変える実験を行った。2016年のPeña Ramirezらは、柔軟な木製構造上の大型振り子時計で同位相の同期を示した。支持構造の変形や脱進機の動作をどうモデル化するかによって、観察される状態は変わる。したがって、ホイヘンスの逆位相同期を唯一の普遍的な帰結にしてはいけない。45

コルテヴェーグの仕事の意義は、現代の同期研究を完成させたことよりも、史料に現れる複数の現象を、支持構造を含む力学の問題へ組み直した点にある。時計一台の調速精度だけを見る視点から、時計と設置環境の相互作用を見る視点へと問題を広げたのである。

年表#

生涯の項目は12、時計研究の出版と後世の研究は345に基づく。

調査上の限界#

ここで扱うのは数学者としての業績と時計研究への寄与である。参照資料からは、本人が製作した時計作品、時計工房、時計製造の顧客や特許を確認できないため、それらを業績として挙げない。1906年フランス語版は後世の論文の書誌で確認し、内容の逐語比較には用いていない。また、支持構造の種類や駆動の違いを無視して、現代の特定の時計製品へこのモデルの性能を直接当てはめることはできない。

参考文献#

1. J. J. O’Connor・E. F. Robertson, Diederik Johannes Korteweg, MacTutor、2006年更新。生涯・教職・研究の概観。閲覧日：2026年11月10日。

2. Eduard de Jager、Tom Koornwinder編, D.J. Korteweg and G. de Vries, アムステルダム大学掲載。Life / Scientific work / Students and teaching の各節。閲覧日：2026年11月10日。

3. D. J. Korteweg, Huygens’ sympathic clocks and related phenomena in connection with the principal and the compound oscillations presenting themselves when two pendulums are suspended to a mechanism with one degree of freedom, Proceedings of the Royal Academy of Amsterdam 8、1905年、436–455頁。原論文のスキャン。閲覧日：2026年11月10日。

4. Matthew Bennett・Michael F. Schatz・Heidi Rockwood・Kurt Wiesenfeld, Huygens’s clocks, Proceedings of the Royal Society A 458、2002年、563–579頁、doi:10.1098/rspa.2001.0888。時計実験とモデル。閲覧日：2026年11月10日。

5. Jonatan Peña Ramirezほか, The sympathy of two pendulum clocks: beyond Huygens’ observations, Scientific Reports 6、23580、2016年、doi:10.1038/srep23580。導入・実験・支持構造のモデル。閲覧日：2026年11月10日。